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In der numerischen Mathematik ist die Konsistenz beziehungsweise die Konsistenzordnung eine Eigenschaft eines numerischen Verfahrens, die bedeutet, dass der Algorithmus in einer gewissen grundlegenden Weise tatsächlich das gegebene Problem löst und nicht ein anderes.

Die drei in der Numerik entscheidenden Fehlerbewertungsmechanismen sind Kondition, Stabilität und Konsistenz. Alle drei Größen analysieren die Entstehung von Fehlern, unterscheiden sich aber in der Art der Fehlerquellen. Die Konditionsbewertung geht davon aus, dass der Algorithmus genau funktioniert, jedoch die Eingabedaten gestört sind. Die Stabilität vergleicht das Ergebnis des numerischen Verfahrens mit dem des exakten Verfahrens unter gestörten Eingabedaten.

Die Konsistenz beschäftigt sich nun mit der Frage, was passiert, wenn die exakte Lösung im numerischen Verfahren verarbeitet wird. Die aufgeführten Beispiele sind numerische Differentiation oder Lösung eines Anfangswertproblems. Hier wird der entstehende Fehler in Abhängigkeit von einem gewählten Gitter oder einer gewählten Schrittweite betrachtet.

Definition |

Gegeben sei ein kontinuierliches Problem und die exakte Lösung u(t){displaystyle u(t)} sowie die numerische Lösung uh(t){displaystyle u_{h}(t)} zu einer Schrittweite h>0{displaystyle h>0}. Das Verfahren heißt konsistent, falls es eine Funktion σ(h){displaystyle sigma (h)} mit limh→0σ(h)=0{displaystyle lim _{hto 0}sigma (h)=0} gibt, so dass für den lokalen Fehler gilt (das Verfahren startet mit exakten Anfangsdaten):

‖u(tn)−uh(tn)‖≤σ(h) ∀tn=nh.{displaystyle |u(t_{n})-u_{h}(t_{n})|leq sigma (h) forall t_{n}=nh.}

Es besitzt die Konsistenzordnung p∈N{displaystyle pin mathbb {N} }, falls σ(h)∈O(hp){displaystyle sigma (h)in {mathcal {O}}left(h^{p}right)}.

Das bedeutet, dass man zu jedem Zeitpunkt (oder auch Ort) eine Fehlerbeschränkung in Abhängigkeit von der gewählten Schrittweite hat. Es ist klar, dass in der Praxis Verfahren dieses Verhalten nur zeigen, wenn man eine hinreichend kleine Schrittweite wählt (vgl. Stabilität).

Viele solcher Konsistenzabschätzungen werden mit Hilfe des Satzes von Taylor bewiesen, aus dem einfachen Grund, dass viele Verfahren die ersten Glieder der Taylorreihe (die abhängig von einer Schrittweite h{displaystyle h} ist) entwickeln, um ausgehend von der Lösung zum aktuellen Zeitpunkt die Lösung für den nächsten Zeitpunkt darzustellen:

f(x+h)=f(x)+hf′(x)+h2f″(ξ)2{displaystyle f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h^{2}{frac {f''(xi )}{2}}}.

Die Konstante c{displaystyle c} ist dann das Restglied f″(ξ){displaystyle f''(xi )} bzw. eine Supremumsnorm­abschätzung.

Definition im Falle der Einschrittverfahren |

Wir gehen von dem Anfangswertproblem

y′(x)=f(x,y(x)),y(xi)=yi{displaystyle y'(x)=f(x,y(x)),quad y(x_{i})=y_{i}}

aus, wobei y{displaystyle y} die Lösung des Anfangswertproblems ist und yi+1{displaystyle y_{i+1}} durch Anwendung der Methode auf yi{displaystyle y_{i}} mit Schrittweite h>0{displaystyle h>0} erzeugt wurde.
Außerdem sei f{displaystyle f} unendlich oft differenzierbar und lokal Lipschitz-stetig.

Ein Einschrittverfahren heißt konsistent, falls für jede rechte Seite f{displaystyle f} gilt, dass^[1]

lim suph→0supxi∈[a,b],yi∈Rd|yi+1−y(xi+h)|hp+1<∞{displaystyle {underset {hrightarrow 0}{limsup }}{underset {x_{i}in [a,b],y_{i}in mathbb {R} ^{d}}{sup }}{frac {|y_{i+1}-y(x_{i}+h)|}{h^{p+1}}}<infty }

d. h. Konstanten C>0,h0>0{displaystyle C>0,h_{0}>0} existieren, sodass

supxi∈[a,b],yi∈Rd|yi+1−y(xi+h)|≤Chp+1{displaystyle {underset {x_{i}in [a,b],y_{i}in mathbb {R} ^{d}}{sup }}|y_{i+1}-y(x_{i}+h)|leq Ch^{p+1}}

für alle 0<h<h0{displaystyle 0<h<h_{0}}.

Eine Methode der Konsistenzordnung p{displaystyle p} macht in jedem Intervall [xi,xi+1]{displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} einen lokalen Fehler der Ordnung hp+1{displaystyle h^{p+1}}.

Beispiele |

Differentiation |

Eine Möglichkeit, die Ableitung einer Funktion f{displaystyle f} in einem Punkt x{displaystyle x} zu errechnen, ist die Benutzung von Differenzenquotienten, sofern f{displaystyle f} hinreichend oft differenzierbar ist. Wir betrachten zwei Verfahren:

Den einfachen Differenzenquotienten

f′(x)≈f(x+h)−f(x)h{displaystyle f'(x)approx {{f(x+h)-f(x)} over {h}}} und

den zentralen Differenzenquotienten

f′(x)≈f(x+h)−f(x−h)2h.{displaystyle f'(x)approx {{f(x+h)-f(x-h)} over {2h}}.}

Die Taylorentwicklungen

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f″(ξ)h22 bzw. f(x±h)=f(x)±f′(x)h+f″(x)h22±f‴(ξ)h36{displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{{f''(xi )h^{2}} over {2}}{text{ bzw. }}f(xpm h)=f(x)pm f'(x)h+{{f''(x)h^{2}} over {2}}pm {{f'''(xi )h^{3}} over {6}}}

liefern dann für den einfachen Differenzenquotienten

f(x+h)−f(x)h=f′(x)+f″(ξ)2h{displaystyle {{f(x+h)-f(x)} over {h}}=f'(x)+{{f''(xi )} over {2}}h}.

bzw. für den zentralen Differenzenquotienten

f(x+h)−f(x−h)2h=f′(x)+f‴(ξ1)+f‴(ξ2)12h2.{displaystyle {{f(x+h)-f(x-h)} over {2h}}=f'(x)+{{f'''(xi _{1})+f'''(xi _{2})} over {12}}h^{2}.}

Über Umstellen und Anwenden der Norm im Bildbereich von f{displaystyle f} erhalten wir dann

‖f′(x)−f(x+h)−f(x)h‖=‖f″(ξ)2h‖≤12‖f″‖∞h{displaystyle left|f'(x)-{{f(x+h)-f(x)} over {h}}right|=left|{{f''(xi )} over {2}}hright|leq {frac {1}{2}}left|f''right|_{infty }h}

bzw.

‖f′(x)−f(x+h)−f(x−h)2h‖=‖f‴(ξ1)+f‴(ξ2)12h2‖≤212‖f‴‖∞h2=16‖f‴‖∞h2{displaystyle left|f'(x)-{{f(x+h)-f(x-h)} over {2h}}right|=left|{{f'''(xi _{1})+f'''(xi _{2})} over {12}}h^{2}right|leq {frac {2}{12}}left|f'''right|_{infty }h^{2}={frac {1}{6}}left|f'''right|_{infty }h^{2}},

also Konsistenzordnung eins, O(h){displaystyle O(h)} bzw. zwei, O(h2){displaystyle O(h^{2})}. Man erkennt, dass man mit ähnlichem Rechenaufwand (je zwei Funktionsauswertungen und im Wesentlichen eine Division) mittels des zentralen Differenzenquotienten eine höhere Konsistenzordnung erreicht.

Gewöhnliche Differentialgleichungen |

Zum diskreten Lösen eines Anfangswertproblems kann man Einschrittverfahren, z. B. Runge-Kutta-Verfahren, verwenden. Ein solches hat die Konsistenzordnung p, wenn es die lokale Fehlerordnung p+1 hat.

Das einfachste Einschrittverfahren ist das explizite Eulerverfahren (Euler'sches Polygonzugverfahren).

Dabei wird die exakte Lösung u(t)∈C1([t0,ff]){displaystyle u(t)in C^{1}([t_{0},f_{f}])} einer Differentialgleichung

u′(t)=f(t,u(t)){displaystyle u'(t)=f(t,u(t))!} und u(t0)=u0{displaystyle u(t_{0})=u_{0}!}

numerisch approximiert durch die stückweise lineare Funktion

uh(tn+τ)=uh(tn)+τf(tn,uh(tn)){displaystyle u_{h}(t_{n}+tau )=u_{h}(t_{n})+tau ,f(t_{n},u_{h}(t_{n}))!} mit tn=t0+nh{displaystyle t_{n}=t_{0}+nh} und τ∈[0,h]{displaystyle tau in [0,h]}

mit uh(t0)=u0{displaystyle u_{h}(t_{0})=u_{0}!} und uh(tn+1)=uh(tn+h){displaystyle u_{h}(t_{n+1})=u_{h}(t_{n}+h)}

Man kann auch hier mit der Taylorentwicklung

u(t+h)=u(t)+hu′(t)+h22u″(t)+⋯=u(t)+hf(t,u(t))+O(h2){displaystyle u(t+h)=u(t)+h,u'(t)+{frac {h^{2}}{2}}u''(t)+dots =u(t)+h,f(t,u(t))+O(h^{2})}

die lokale Fehlerordnung 2 und damit die Konsistenz von O(h){displaystyle O(h)}, d. h., Konsistenzordnung 1, nachweisen.

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ von Harrach, Bastian: Numerik von Differentialgleichungen. 25. Juli 2017, S. 23, abgerufen im 30. Januar 2018.